无穷多素数的两种证明

我们都知道素数有无穷多个,历史上众多数学家都给出了证明,这里介绍两种证明。

一种是欧几里德的证明,这种大家应该都比较熟悉。假设素数为有限多个,记作p1, p2, ..., pn。令A = p1p2...pn + 1,显然这n个素数中,没有一个能被A整除,这说明把A分解成素数乘积形式时,得到了新的素数,这与我们假定的所有素数为p1, p2, ..., pn产生了矛盾,于是证明了素数有无穷多个!实际上,这里的A也可换成p1p2...pn - 1的形式,或者pi1pi2...pij + pij+1pij+2...pin的形式,其中i1,i2, ..., in是1,2, ..., n的任意一个排列。

这里再给出一种相对比较少见的数学界的变态2号欧拉的证明。

同样,假设所有素数为有限多个,记作p1, p2, ..., pn。对每个素数pi,可知无穷级数\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{p_i^k}收敛。把这n个级数相乘,可以知道,每一项都是\frac{1}{p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_n^{a_n}}这种形式,其中每个指数ai都可为非负的任意整数。因为p1, p2, ..., pn是全体素数,而每个数都可以用这些素数的乘积表示,这也就是说

\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{p_1^k}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{p_2^k}...\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{p_n^k} = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m}

我们知道,等式右边是一个调和级数,是发散的,而等式左边是有限个收敛级数的乘积,结果也是收敛的,一个收敛的级数不可能等于一个发散的级数,这就引发了矛盾,所以假设是错误的,即素数不为有限多个,也即有无限多个!



发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注

*