Laplace算子的旋转不变性的证明

所谓算子可看成一种变换,作用在函数上,生成另一个函数。在用于数字图像处理时,算子可表示为相应的滤波器模版。好的滤波器模版应当是各向同性的(isotropic),即具有旋转不变性(rotation invariant)。意思是对图像先旋转再用滤波器作用的结果和先用滤波器作用生成的图像再旋转相同角度的结果是一样的。Laplace算子在数字图像处理中是一种很重要的算子,在图像锐化等方面有很重要的作用,是具有旋转不变性的算子。

对2元函数f(x,y),Laplace算子的定义为:

\<br />
abla^2f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}

现在证明下该算子的旋转无关性。为方便运算,把偏导改写一种形式,如f(x,y)对x的一阶偏导写为f'_1(x,y)

因此有

\begin{array}{l}\<br />
abla^2f(x,y) & =f''_{11}(x,y)+f''_{22}(x,y) \\ & =f''_{11}(r\cos \theta,r\sin \theta)+f''_{22}(r\cos \theta,r\sin \theta) \end{array}

其中x=r\cos \thetay=r\sin \theta。对\<br />
abla^2f(x,y)旋转一角度\theta_0

\begin{array}{l} f''_{11}(r\cos (\theta+\theta_0),r\sin (\theta+\theta_0))+f''_{22}(r\cos (\theta+\theta_0),r\sin (\theta+\theta_0)) \\ =f''_{11}(\cos \theta_0x-\sin \theta_0y,\cos \theta_0y+\sin \theta_0x)+ \\ f''_{22}(\cos \theta_0x-\sin \theta_0y,\cos \theta_0y+\sin \theta_0x). \end{array}

现在先对f(x,y)旋转\theta_0

f(\cos \theta_0x-\sin \theta_0y,\cos \theta_0y+\sin \theta_0x)

令该函数等于z。现在求z对x的2阶偏导与z对y的2阶偏导的和,为此,先计算一阶偏导。

\begin{array}{l}\frac{\partial z}{\partial x} & =\cos \theta_0f'_1(\cos \theta_0x-\sin \theta_0y,\cos \theta_0y+\sin \theta_0x)+ \\ & \sin \theta_0f'_2(\cos \theta_0x-\sin \theta_0y,\cos \theta_0y+\sin \theta_0x).\end{array}

\begin{array}{l}\frac{\partial z}{\partial y} & =-\sin \theta_0f'_1(\cos \theta_0x-\sin \theta_0y,\cos \theta_0y+\sin \theta_0x)+ \\ & \cos \theta_0f'_2(\cos \theta_0x-\sin \theta_0y,\cos \theta_0y+\sin \theta_0x).\end{array}

为方便书写,后面省略自变量,但要明确这里的两个自变量是\cos \theta_0x-\sin \theta_0y\cos \theta_0y+\sin \theta_0x

\begin{array}{l}\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} & =\cos \theta_0[\cos \theta_0f''_{11}+\sin \theta_0f''{12}]+\sin \theta_0[\cos \theta_0f''_{21}+\sin \theta_0f''_{22}] \\ & =\cos^2 \theta_0f''_{11}+\sin^2 \theta_0f''_{22}+2\cos \theta_0\sin \theta_0f''_{12} \\\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} & =-\sin \theta_0[-\sin \theta_0f''_{11}+\cos \theta_0f''{12}]+ \\ & \cos \theta_0[-\sin \theta_0f''_{21}+\cos \theta_0f''_{22}] \\ & =\sin^2 \theta_0f''_{11}+\cos^2 \theta_0f''_{22}-2\cos \theta_0\sin \theta_0f''_{12}.\end{array}

因此

\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=f''_{11}+f''_{22}

注意这里的f''_{11},f''_{22}都是关于自变量为\cos \theta_0x-\sin \theta_0y\cos \theta_0y+\sin \theta_0x的函数,因此即为

\begin{array}{l}f''_{11}(\cos \theta_0x-\sin \theta_0y,\cos \theta_0y+\sin \theta_0x)+ \\ f''_{22}(\cos \theta_0x-\sin \theta_0y,\cos \theta_0y+\sin \theta_0x)\end{array}

这说明作用后旋转和旋转后作用的结果是一致的,Laplace算子的旋转不变性得证!

当退化为离散形式时,该算子最多只能保证45度旋转的无关性,对应的模版为:

\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & -8 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}



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