2项分布期望及方差的直接求法

一般概率课本上对2项分布期望的求法都是把服从2项分布的随机变量看成N个伯努利随机变量的和,然后利用期望的相加性来求。这里直接推导下2项分布的期望。

设随机变量X\sim Binomial(n,p),即有

P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}.

\begin{array}{l}E(X) & = & \sum_{k=0}^nkC_n^kp^k(1-p)^{n-k} \\& = & \sum_{1\leq k\leq n}nC_{n-1}^{k-1}p^k(1-p)^{n-k},\quad \text{as }k=0\text{ do nothing and }kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}\\& = & \sum_{1\leq k+1\leq n}nC_{n-1}^kp^{k+1}(1-p)^{n-1-k},\quad \text{replaced }k\text{ by }k+1 \\& = & np.\end{array}

最后一步是把和式中的np提出来,剩下的和式是一个参数为(n-1,p)的2项分布的概率求和,值为1。

利用期望的结果,类似的,很容易推导出方差,这里就不写出了。



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