Column Picture

看Gilbert Strang大神的线性代数公开课(点这里),老教授讲了一种所谓Column Picture的概念,感觉这概念真的太好了,很形象的阐述了一些东西。

先从某个矩阵乘以一个向量开始,如AX,从一个具体的例子说,就设A

\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 2 & 3\end{pmatrix}

这里的矩阵A就可以看成是2个列向量(1,2)'(-1,3)'。向量X就不用具体的数表示,我们令

X=(a,b)'

那么AX相乘的结果实际上就是A的2个列向量的线性组合

a\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}.

同样,行向量与矩阵相乘也是矩阵行向量组的一个线性组合,系数就是与之相乘的行向量的分量值。

根据这种描述,矩阵的乘法自然也就有了定义。比如这里拿右乘来说,A是矩阵,B是矩阵,并且设B=(X_1,X_2,\dots ,X_n)其中X_i是列向量,那么

AB=(AX_1,AX_2,\dots ,AX_n)

结果矩阵的每一个列向量都是矩阵A的列向量组的一个线性组合。如果说A的列向量组构成一个若干维的空间,那么B与之右乘的结果就会得到这个空间中的n个向量(n是B的列数),其中B的每列可以看成的对应向量在A空间中的坐标。同样也可以考虑左乘的概念,列向量换成行向量而已。

这样的定义比什么第i行第j列的元素是是A的第i行与B的第j列对应相乘相加来的形象多了。以前的定义是个【哔——】东西啊!什么对应相乘相加到底在说个啥?为什么是那样?完全没什么逻辑。。



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