《CM》3.1 Floors And Ceilings

3.1 Floors And Ceilings 向下取整和向上取整

对实数x,floor和ceil的定义分别为:

\begin{array}{l}\lfloor x\<br />
floor =\text{the greatest integer less than or equal to }x; \\ \lceil x\<br />
ceil =\text{the least integer greater than or equal to }x.\end{array}

即floor函数是不大于x的最大整数,平常的取整都是只floor。ceil则是不小于x的最小整数。可用各自的意思来辅助记忆,floor:地板(下面),ceil:天花板(上面)。

根据定义,显然有\lfloor x\<br />
floor \leq x\lceil x\<br />
ceil \geq x,且有:

\lfloor x\<br />
floor =x \iff x\text{ is an integer}\iff \lceil x\<br />
ceil =x.

注意到ceil一定不比floor小,并且最多只能大1,不难发现当x不为整数时,ceil(x)比floor(x)大1,即有:

\lceil x\<br />
ceil -\lfloor x\<br />
floor =[x\text{ is not an integer}].

若x是整数,x与floor(x)相同的值,否则x比floor(x)大的值小于1。同样,ceil(x)比x大的值也小于1。即有:

x-1 \lt \lfloor x\<br />
floor \leq x \leq \lceil x\<br />
ceil \lt x+1.

另外,floor和ceil之间还有如下的关系:

\lfloor -x\<br />
floor =-\lceil x\<br />
ceil ;\quad \lceil -x\<br />
ceil =-\lfloor x\<br />
floor .

现在讨论floor函数和ceil函数的性质,由定义显然可以得到如下4条基本性质:

\begin{array}{l}\lfloor x\<br />
floor =n & \iff & n \leq x \lt n+1, \\ \lfloor x\<br />
floor =n & \iff & x-1 \lt n \leq x, \\ \lceil x\<br />
ceil =n & \iff & n-1 \lt x \leq n, \\ \lceil x\<br />
ceil =n & \iff & x \leq n \lt x+1. \end{array}

因此,由\lfloor x\<br />
floor +n \leq x+n \lt \lfloor x\<br />
floor +n+1可得,

\lfloor x+n\<br />
floor =\lfloor x\<br />
floor +n.

其中n是整数。同理,ceil也有同样的性质。

floor与ceil函数还有如下4条非常有用的性质:

\begin{array}{l}x \lt n & \iff & \lfloor x\<br />
floor \lt n, \\ n \lt x & \iff & n \lt \lceil x\<br />
ceil , \\ x \leq n & \iff & \lceil x\<br />
ceil \leq n, \\ n \leq x & \iff & n \leq \lfloor x\<br />
floor .\end{array}

证明也是比较简单,如第一个,前推显然成立。若有\lfloor x\<br />
floor \lt n,即等价于\lfloor x\<br />
floor \leq n-1。又x-1\lt \lfloor x\<br />
floor,因此

x\lt\lfloor x\<br />
floor +1 \leq n.

这就证明了x \lt n \iff \lfloor x\<br />
floor \lt n

实数x的小数部分也有一个专门的符号:

\{x\}=x-\lfloor x\<br />
floor .

若有实数x和y,则

\lfloor x+y\<br />
floor =\lfloor x\<br />
floor +\lfloor y\<br />
floor +\lfloor \{x\}+\{y\}\<br />
floor .

由于0 \leq \{x\}+\{y\} \lt 2,因此\lfloor x+y\<br />
floor 的值要么是\lfloor x\<br />
floor +\lfloor y\<br />
floor ,要么是\lfloor x\<br />
floor +\lfloor y\<br />
floor +1



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