《CM》2.7 Infinite Sums

2.7 Infinite Sums 无穷和

之前的讨论都是在假定和的项是有限个的前提下进行的。当和的项可以出现无穷多个时,需要一种新的定义,以使得之前对有穷和的讨论也能用在无穷和上。(事实上,数学分析中专门有一块叫做“无穷级数”的内容,然而具体数学中的无穷和和数学分析中的“无穷级数”侧重点不同。我认为前者主要把它看成一种和,侧重于求解,而后者主要讨论的是收敛性,本质上是属于极限论的内容)

先考虑和的项都是非负的情况。设K是索引的集合,对任意k \in Ka_k非负(注意这里的集合K可以是多维的,亦即每个k \in K,k可以代表多个索引如(k_1,k_2,\dots),并且K可以是无限集)。若存在常数A,使得

\sum_{k \in F}a_k \leq A

其中F是K的所有有限子集,那么定义\sum_{k \in K}a_k的值为最小的那个A。如果不存在这样的常数A,则定义\sum_{k \in K}a_k=\infty,意思是说,随便给个数A,总存在有限个项的和会大于A。

这个定义是否能够支持所有关于有穷和的操作呢?当然不是!但是,当值不为无穷大时是支持的!事实上只需证明该定义满足distributive,associative,commutative这3条基本规则以及多重和的interchanging the order of summation规则。

首先是distributive law,这条规则的证明比较简单。由于这里讨论的都是正数项,因此假定常数c>0。按照定义及有穷和的这条规则,对所有K的有限子集F,都有\sum_{k \in F}ca_k=c\sum_{k \in F}a_k。因此,若\sum_{k \in K}a_k=A,则有\sum_{k \in K}ca_k=c\sum_{k \in K}a_k

然后是associative law,即若\sum_{k \in K}a_k=A,\sum_{k \in K}b_k=B,则有\sum_{k \in K}a_k+b_k=A+B。这个同样根据定义以及有穷和的这条规则:显然(原谅我装比的行为。。)。

接下来证明多重和的interchanging the order of summation规则,即值不为无穷大的无穷多重和能够对任意一个索引先求和。以2重和的证明举例,证明:若

\sum_{\substack{j \in J \\ k \in K_j}}a_{j,k}=A

那么,对任意j \in J,存在A_j使得

\begin{array}{l}\sum_{k \in K_j}a_{j,k}=A_j,\quad \text{and} \\ \sum_{j \in J}A_j=A.\end{array}

设所有满足j \in J,k \in K_j的数对(j,k)组成的集合为M,因此,对M的所有有穷子集F,都有\sum_{(j,k) \in F}a_{j,k}\leq A。设j是J中的任意一个元素,因为所有的项都非负,所以\sum_{k \in F_j}a_{j,k}\leq A,其中F_jK_j的任意有穷子集。于是根据无穷和的定义,存在一个最小的界A_j,使得\sum_{k \in K_j}a_{j,k}=A_j

继续证明\sum_{j \in J}A_j=A。用反证法,先假设存在J的一个有穷子集G,使得\sum_{j \in G}A_j=A',其中A'\gt A。由于\sum_{k \in K_j}a_{j,k}=A_j,因此,对所有属于G且A_j \gt 0的j,一定可以找到一个K_j的有穷子集F_j,使得\sum_{k \in F_j}a_{j,k}>(A/A')A_j(因为如果找不到这个子集,根据定义,A_j不可能为\sum_{k \in K_j}a_{j,k}的值)。因为至少有一个这样的j,所以\sum_{j \in G,k\in F_j}a_{j,k}\gt (A/A')\sum_{j \in G}A_j=A(注意\{j \in G,k \in F_j\}是一个有穷集,所以不等式成立)。然而,因为\sum_{(j,k) \in M}a_{j,k}=A,根据定义,对任意有穷子集,和都因为不大于A,这就产生了矛盾,所以A'不可能大于A。因此,对J的任意有穷子集G,都有\sum_{j \in G}A_j \leq A

最后一步只需证明A就是最小的界。设有A' \lt A,根据定义,存在M的有穷子集F,使得\sum_{(j,k) \in F}a_{j,k} \gt A'。令G为F中j的集合,F_j=\{k\,|\,(j,k) \in F\},因此\sum_{j \in G}A_j \geq \sum_{j \in G}\sum_{k \in F_j}a_{j,k}=\sum_{(j,k) \in F}a_{j,k} \gt A'。这也就是说,如果有存在比A小的数,那么一定有一个J的有穷子集G,使得\sum_{j \in G}A_j大于那个数,即A是最小上界!因此\sum_{j \in J}A_j=A

最后只剩下commutative law的证明。事实上,根据刚才证明的interchanging order of summation规则,可以利用多重和来证明这个定律,并且我们已经在这里证明过了。

这样,4条规则都能被这个定义满足,因此对和的项为非负的情况,这个关于无穷和的定义是能接受的。

下面把该定义推广到和的项为任意实数的情况,不在规定非负。任意实数x可以写成正数部分和负数部分,

x=x^+-x^-, \text{ where }x^+=x\cdot [x \gt 0]\text{ and }x^-=-x\cdot [x \lt 0].

其中x^+代表正数部分,x^-则代表负数部分,不难发现,其中之一必为0。因此,对任意和,也可以把该和分成两个部分,

\sum_{k \in K}a_k=\sum_{k \in K}a_K^+-\sum_{k \in K}a_k^-.

注意到a_k^+,a_k^-都为非负数,因此可以利用之前的定义,设A^+=\sum_{k \in K}a_k^+A^-=\sum_{k \in K}a_k^-。若A^+A^-都不是无穷大,则定义和\sum_{k \in K}a_k的值为A^+-A^-,并说该和为绝对收敛(converge absolutely)。若A^+为无穷大,则定义和的值为正无穷大。若A^-为无穷大,则定义和的值为负无穷大。若两者都为无穷大,则该和没定义。

这样扩展之后,显然对任意无穷和,当它为绝对收敛时,是满足那4条规则的,也就是说对绝对收敛的无穷和,可以运用有穷和的知识来求解。



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