《CM》2.6 Finite And Infinite Calculus

2.6 Finite And Infinite Calculus 有限与无限微积分

这一节的内容前所未有的强大!为本人看CM以来第一个震撼点!积分和和这两个概念是如此接近,一个连续,一个离散,然而却能建立起如此相关的一套理论!实在是牛B到爆!这套理论,称之为“finite calculus”理论,以区分传统的infinite calculus,也就是导数,微分,积分那一套。

众所周知,函数的导函数(简称导数)就是一个极限,用算子D代表求导(微商)运算,对一个函数f(x),其导数为Df(x),则有

Df(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

对此,假定我们这里最多只能使h趋近于1,亦即当h=1时,可以定义\Delta算子,代表差分运算:

\Delta f(x)=f(x+1)-f(x).

这样就建立起了导数的一个类似物,不妨叫做“差数”。注意这里的两个算子D,\Delta实际上代表一种变换,或者叫做映射,它们作用在一个函数上生成另一个函数。

如同一些基本的求导公式,这里也可以整理一些常用的“求差公式”,不难计算出以下公式:

\begin{array}{l}\Delta (2^x)=2^x & \Delta (c^x)=(c-1)c^x \\ \Delta (\frac{c^x}{c-1})=c^x & \Delta (cf)=c\Delta f \\ \Delta (f+g)=\Delta f+\Delta g & \Delta (fg)=f\Delta g+Eg\Delta f\end{array}

其中,E是一个移位算子(shift operator),满足

Ef(x)=f(x+1).

即使它作用的函数左移一个单位。

幂函数在infinite calculus中是一个很重要的概念,比如有著名的求导公式D(x^m)=mx^{m-1}。于是数学家们想,对刚刚建立的一个D的类似概念\Delta,也应该有一个这样美妙的公式。然而,当我们把\Delta算子作用在幂函数上时,却得不到想要的结果。牛B的数学家们因此尝试建立了一个新的概念,一种类似幂函数的概念:

\begin{array}{l}x^{\underline{m}}=x(x-1)\dots (x-m+1),\quad \text{integer }m \geq 0,\\ x^{\underline{-m}}=\frac{1}{(x+1)(x+2)\dots (x+m)},\quad \text{for }m \gt 0.\end{array}

考虑正指数的情况,对这个函数求差数:

\begin{array}{l} \Delta (x^{\underline{m}}) & =(x+1)^{\underline{m}}-x^{\underline{m}} \\ & =(x+1)x\dots (x-m+2)-x\dots (x-m+2)(x-m+1) \\ & =mx(x-1)\dots (x-m+2)=mx^{\underline{m-1}}. \end{array}

负指数时可以得到类似的结果,Perfect!这样,我们就有了一个在finite calculus理论中的“幂函数”,这个函数被命名为falling factorial powers。类似的,也可定义rising factorial powers函数:

\begin{array}{l}x^{\overline{m}}=x(x+1)\dots (x+m-1),\quad \text{integer }m \geq 0.\\ x^{\overline{-m}}=\frac{1}{(x-1)(x-2)\dots (x-m)},\quad \text{for }m \gt 0.\end{array}

由falling factorial powers函数的定义不难推出如下性质:

x^{\underline{m+n}}=x^{\underline{m}}(x-m)^{\underline{n}}.

这样,还可以增加几个常用的差数公式:

\Delta (x^{\underline{m}})=mx^{\underline{m-1}},\quad \Delta (\frac{x^{\underline{m+1}}}{m+1})=x^{\underline{m}},\quad \Delta (H_x)=\frac{1}{x+1}=x^{\underline{-1}}.

现在finite calculus中有了D的类似物\Delta,继续尝试建立积分\int的finite版本。我们知道,D\int是一对逆操作算子,即

g(x)=Df(x)\quad \text{if and only if}\quad \int g(x)\,\mathrm{d}x=f(x)+C.

\int g(x)\,\mathrm{d}x叫做g(x)的不定积分,代表导数为g(x)的一类函数。类似的,我们用\sum符号来作为\Delta的逆操作,并类似这种不定积分的形式定义不定和(indefinite sum)

g(x)=\Delta f(x)\quad \text{if and only if}\quad \sum g(x)\,\mathrm{\delta}x=f(x)+C.

其中,\sum g(x)\,\mathrm{\delta}x叫做g(x)的不定和,代表差数为g(x)的一类函数。需要注意的是,这里的C可不仅仅是普通意义上的常数,任何一个满足p(x+1)=p(x)的函数p(x)都可以是C

这样,由上面那些差数公式,我们又可以写出一些常用的不定和公式,如由\Delta (\frac{x^{\underline{m+1}}}{m+1})=x^{\underline{m}}可以得到

\sum x^{\underline{m}}\,\mathrm{\delta}x=\frac{x^{\underline{m+1}}}{m+1}+C,

这里就不一一列出了。

牛顿-莱布尼茨公式给出了不定积分和定积分的密切关系,若Df(x)=g(x),则有:

\int_a^bg(x)\,\mathrm{d}x=f(x)|_a^b=f(b)-f(a).

因此,类似定义定和(definite sums)的概念,使得其与不定和满足类似的关系:若\Delta f(x)=g(x),则有

\sideset{}{_a^b}\sum g(x)\delta x=f(x)|_a^b=f(b)-f(a).

其中,\sum_a^b g(x)\delta x称为g(x)的上下限为b,a的定和。

然而,我们知道定积分确切的概念,即在(a,b)区间内无限分割,用无限小的长条形近似相应区间内的形状,定积分即为所有这些长条形面积的和。但是,定和到底是指什么呢?现在我们知道的只是定和的计算。考虑\sum_a^bg(x)\delta x\sum_a^{b-1}g(x)\delta x的关系

\begin{array}{l}\sideset{}{_a^b}\sum g(x)\delta x-\sideset{}{_a^{b-1}}\sum g(x)\delta x & =\left(f(b)-f(a)\<br />
ight)-\left(f(b-1)-f(a)\<br />
ight) \\ & =f(b)-f(b-1)=g(b-1).\end{array}

因此,当b≥a时

\begin{array}{l} \sideset{}{_a^b}\sum g(x)\delta x & =g(b-1)+\sideset{}{_a^{b-1}}\sum g(x)\delta x \\ & \vdots\\ & =g(b-1)+g(b-2)+\dots +g(a)+\sideset{}{_a^a}\sum g(x)\delta x \end{array}

由定和的计算公式可知\sum_a^ag(x)\delta x=f(a)-f(a)=0。这样,当a≤b时,定和\sum_a^bg(x)\delta x就代表[a,b)的所有项的和!即

\sideset{}{_a^b}\sum g(x)\delta x=\sum_{k=a}^{b-1}g(k)=\sum_{a\leq k \lt b}g(k),\quad \text{for integers }b \geq a.

实际上也可以看成是(a,b)区间上的长条形面积的和,只不过每个长条形的宽度为1,而不是无穷小。另外,由定和的计算公式容易推出

\sideset{}{_a^b}\sum g(x)\delta x+\sideset{}{_b^c}\sum g(x)\delta x=\sideset{}{_a^c}\sum g(x)\delta x

其中,a,b,c是任意整数。这样就解决了当a>b时的情况。

这样,又能列出一些定和公式,并且我们知道定和的实质就是和因此,我们就可以利用finite calculus理论来解决一些求和问题!比如由\sum x^{\underline{m}}\,\mathrm{\delta}x=\frac{x^{\underline{m+1}}}{m+1}+C就能得到

\sum_{a\leq k \lt b}k^{\underline{m}}=\sideset{}{_a^b}\sum x^{\underline{m}}\delta x=\left.\frac{x^{\underline{m+1}}}{m+1}\<br />
ight|_a^b=\frac{b^{\underline{m+1}}-a^{\underline{m+1}}}{m+1},\quad m \<br />
eq -1.

上一节中讲了很多方法求解S_n=\sum_{k=0}^nk^2,现在用finite calculus理论来求解这个问题。注意到

k^2=k^{\underline{2}}+k^{\underline{1}},

因此

\sum_{0\leq k \lt n+1}k^2=\frac{(n+1)^{\underline{3}}}{3}+\frac{(n+1)^{\underline{2}}}{2}=\frac{n(n+\frac{1}{2})(n+1)}{3}.

So easy!事实上,每个指数大于0的幂函数都可以用falling factorial powers函数表示,这样,对这些幂函数的求和都可以轻松解决

在infinite calculus理论中,\int_a^bx^{-1}\,\mathrm{d}x=\left.\ln x\<br />
ight|_a^b,不难找到\ln在finite calculus理论中的版本为H_x,因为\Delta H_x=\frac{1}{x+1}=x^{\underline{-1}}。于是,对所有情况,有以下等式成立:

\sideset{}{_a^b}\sum x^{\underline{m}}\delta x=\left\{\begin{array}{l}\left.\frac{x^{\underline{m+1}}}{m+1}\<br />
ight|_a^b, & m \<br />
eq -1; \\ \left.H_x\<br />
ight|_a^b, & m=-1.\end{array}\<br />
ight.

类似的,可以找到“forever func”的finite版本:2^x

另外,类似infinite版本中分部积分,finite版本中也可以有分部求和(summation by parts),对差数公式\Delta (uv)=u\Delta v+Ev\Delta u两边取不定和,即可得到分部求和公式:

\sum u\Delta v=uv-\sum Ev\Delta u.

如利用分部求和公式,可以轻松求解以下和:

\begin{array}{l}\sum_{k=0}^nk2^k & =\sideset{}{_0^{n+1}}\sum x2^x\,\mathrm{\delta}x \\ & =\left.x2^x-2^{x+1}\<br />
ight|_0^{n+1} \\ & =(n-1)2^{n+1}+2.\end{array}

另外,还有一个和也可以轻松的用分部求和方法求出:

\sum_{0\leq k \lt n}kH_k=\sideset{}{_0^n}\sum xH_x\,\mathrm{\delta}x=\frac{n^2}{2}\left(H_n-\frac{1}{2}\<br />
ight).



发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注

*