《CM》2.1 Notation

2.1 Notation 表示法

有两种方法表示和,一种是“3点式”方法,另一种是用∑符号的表示法。“3点式”是一种和的省略书写形式,如:

a1 + a2 + ... + an.

这种表示法很直观,但往往不是很严谨,也不利于和的操作,并且一般只能试用于简单形式的和。

∑符号的表示法有3种形式,其中一种最广为人知的叫做“定界式”,这种形式把首项和末项的索引放在∑符号下面和上面,即

\sum_{k=1}^{n} a_k

为了书写方便,常写成\sum_{k=1}^{n} a_k 这样,以使和写在一行。

“定界式”的形式虽然简洁,但是有时候不够清晰,不能很显然的让我们明白和的含义。最令人苦恼的一点就是索引值只能依次增加1,这在索引不连续甚至不能写出的情况下很难或者根本不能表示和。

“改进的∑表示法”把索引的集合统一放在∑符号的下面

\sum_{\substack{1 \leq k \leq n}} a_k

如要表示[1, 100)中的奇数平方和,采用这种改进的∑表示法可写成这种形式

\sum_{\substack{1 \leq k < 100, \\ \text{k odd}}} k^2

而采用原始的定界式形式则需要写成\sum_{k=0}^{49} (2k+1)^2 。显然前者更加一目了然,后者甚至需要仔细观察才能发现它所表达的意思。

改进的∑表示法还有一个优点,就是在和的操作方面非常容易明了,如需把索引k换成k+1

\sum_{\substack{1 \leq k \leq n}} a_k = \sum_{\substack{1 \leq k+1 \leq n}} a_{k+1} = \sum_{\substack{0 \leq k \leq n-1}} a_{k+1}

如果采用定界式形式做变换时,则缺少中间步骤,这容易出错,且意义不明。

关于这种表示法的确切定义是,一般的

\sum_{\substack{P(k)}} a_k

表示一个关于所有项ak的和的缩写,其中k满足条件P(k)。暂时假设只有有限个k满足条件P(k),特别的,若有0个k满足条件,则说该和为0。

在表示和的时候,很多人把值为0的项去掉,这往往是没有必要的,这样会使得条件P的意义很不明确,使和变难以理解。事实上,在处理和的过程中,一般需要适当的增加一些0项。

∑符号的表示法的第3种形式是一个叫做Kenneth E.Iverson的人发明的,因此称这种形式为“Iverson”形式。他把索引的条件放入中括号,即[P(k)],规定这个值等于1当且仅当P(k)为真,否则为0。于是上述和可以表示成这种形式

\sum_{\substack{k}} a_k [P(k)]

这种形式可以使我们不考虑限界条件,只对项进行操作。

有时候ak对一些k是无意义的,这时我们规定,对这些k,[P(k)]的结果是一个很强的0,这种0乘上所有的数都为0,哪怕乘上ak没有意义。比如用这种表示法表示小于等于N的所有素数的倒数和为

\sum_{\substack{p}} [p \text{ } prime][p \leq N]/p

这样,哪怕p的值为0,由于0不是素数,所以整个项的结果也为0,不影响和。



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