仿射集合一个性质证明

工作需要,感觉老本行的知识可能会发挥些作用,并且感觉最近数学落下了,因此想好好把凸优化这本书重新啃一遍。然后就翻到第2章,仿射集合,首先看定义。

仿射集:集合C是仿射集当且仅当对任意x_1,x_2\in C以及\theta\in R\theta x_1+(1-\theta)x_2\in C

好了,接下来是问题了。

问题:假设C是仿射集,若x_1,\dots,x_k\in C,且有\theta_1+\dots+\theta_k=1,证明\theta_1x_1+\dots+\theta_kx_k\in C

初看问题,尼玛这不是显然么。这一章实际上自己也看过好多遍了,看到这里都是当作定义直接过的,而且确实感觉显然。但今天突然想了一下还他妈一下没想到怎么个显然法,于是果断拿起纸笔来了一段比较丑陋的证明,如下:

应用数学归纳法,假设对小于k个点的时候成立,证明对k个点的时候也成立。数归第一步k=2的时候直接用定义就行了,因此下面就是数归的归纳了。

x_1,x_k\in C可得

(\theta_1+\dots+\theta_{k-1})x_1+\theta_kx_k\in C

同理有

\begin{array}{c}(\theta_1+\dots+\theta_{k-1})x_2+\theta_kx_k\in C \\ \dots \\ (\theta_1+\dots+\theta_{k-1})x_{k-1}+\theta_kx_k\in C\end{array}

这样一共有k-1个新的属于C的点,记为y_i=(\theta_1+\dots+\theta_{k-1})x_i+\theta_kx_k其中,i=1,\dots,k-1。接下来,对点y_i构造系数\alpha_i=\frac{\theta_i}{\theta_1+\dots+\theta_{k-1}},显然

\sum_{i=1}^{k-1}\alpha_i=1

,因此由归纳的假设可得

\sum_{i=1}^{k-1}\alpha_iy_i=\sum_{i=1}^k\theta_ix_i\in C

证毕!

卧槽,这证明丑死了,感觉这就是个显然的事,一定有非常巧妙的证明,一定是脑袋秀逗了。。。



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